Um pai comprou oito presentes diferentes (dentre os quais, uma…

Um pai comprou oito presentes diferentes (dentre os quais, uma bicicleta e um celular) para dar a seus três filhos. Ele pretende distribuir os presentes de modo que o filho mais velho e o mais novo recebam três presentes cada um, e o do meio receba os dois presentes restantes. O mais velho ganhará, entre seus presentes, ou uma bicicleta ou um celular, mas não ambos. De quantas maneiras distintas a distribuição dos presentes pode ser feita?

GABARITO: C

Para resolver este problema, devemos distribuir os 8 presentes distintos entre os três filhos (Mais Velho, Meio e Mais Novo) respeitando as quantidades (3, 2, 3) e a restrição específica do filho mais velho.

A restrição diz que o filho mais velho ganhará exatamente um dos dois presentes especiais (bicicleta ou celular). Vamos dividir a resolução em etapas:

1. Escolha do presente especial para o filho mais velho: Como ele deve ganhar ou a bicicleta ou o celular (exclusivamente), existem $2$ opções (escolhemos 1 entre 2).
2. Escolha dos outros presentes para o filho mais velho: Ele precisa de mais 2 presentes para completar seus 3. Esses presentes devem ser escolhidos entre os 6 presentes comuns (excluindo a bicicleta e o celular). O número de maneiras é $C_{6,2} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$.
3. Escolha dos presentes para o filho do meio: Restam 5 presentes (o outro presente especial e os 4 comuns que não foram para o mais velho). Ele deve receber 2 presentes. O número de maneiras é $C_{5,2} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$.
4. Distribuição para o filho mais novo: Restam 3 presentes, que devem ser entregues a ele. Só há $C_{3,3} = 1$ maneira.

Aplicando o Princípio Multiplicativo, temos:$2 \cdot 15 \cdot 10 \cdot 1 = 300$Portanto, existem 300 maneiras distintas.

• Incorreta. O aluno utiliza o número de permutações de 4 itens tomados 2 a 2 e multiplica pelo número de filhos: $P_{4,2} \cdot 3 = 12 \cdot 3 = 36$.
• Incorreta. O aluno calcula as combinações do primeiro filho e subtrai o número de filhos: $C_{8,3} - 3 = 56 - 3 = 53$.
• Correta. Conforme o raciocínio exposto, aplicando a restrição de exclusividade no primeiro conjunto de escolhas.
• Incorreta. O aluno interpreta o "ou" como inclusivo (pelo menos um) em vez de exclusivo. Ele calcula o total $(560)$ e subtrai apenas os casos em que o filho não ganha nenhum dos dois $(C_{6,3} \cdot C_{5,2} = 20 \cdot 10 = 200)$, obtendo $560 - 200 = 360$, mas esquece de subtrair os casos em que ele ganha ambos.
• Incorreta. O aluno calcula a distribuição total sem considerar nenhuma restrição: $C_{8,3} \cdot C_{5,2} = 56 \cdot 10 = 560$.