Quatro amigos, cada um com 100 moedas, criaram um jogo, no qual cada…

Quatro amigos, cada um com 100 moedas, criaram um jogo, no qual cada um assume uma das quatro posições, 1, 2, 3 ou 4, indicadas na figura, e nela permanece até o final. O desenvolvimento do jogo se dá em rodadas e, em todas elas, cada jogador transfere e recebe uma quantidade de moedas, da seguinte maneira:

• o jogador na posição 1 transfere 1 moeda para o jogador na posição 2;
• o jogador na posição 2 transfere 2 moedas para o jogador na posição 3;
• o jogador na posição 3 transfere 3 moedas para o jogador na posição 4;
• o jogador na posição 4 transfere 4 moedas para o jogador na posição 1, completando a rodada.

Ao final da rodada $n$, qual é a expressão algébrica que representa o número de moedas do jogador na posição 1?

GABARITO: D

Para determinar o número de moedas do jogador na posição 1 após $n$ rodadas, analisamos o fluxo de moedas que entram e saem dessa posição específica em cada ciclo do jogo.

1. Saldo Inicial: O enunciado informa que cada um dos quatro amigos começa com $100$ moedas.
2. Fluxo por rodada: Em cada rodada, o jogador na posição 1 realiza duas operações: transfere $1$ moeda para a posição 2 (saída) e recebe $4$ moedas do jogador na posição 4 (entrada).
3. Saldo Líquido por rodada: A variação real no saldo do jogador 1 a cada rodada é de $-1 + 4 = +3$ moedas.
4. Modelagem Algébrica: Se a cada rodada o saldo aumenta em $3$ moedas, após $n$ rodadas o acréscimo total será de $3 \cdot n$. Portanto, a quantidade total de moedas é o valor inicial somado a esse acréscimo: $100 + 3n$.

Análise das alternativas:

• Incorreta. O aluno soma o lucro da primeira rodada ao saldo inicial fixo e usa o valor recebido como taxa por rodada: $(100 + 3) + 4n = 103 + 4n$.
• Incorreta. O aluno soma o resultado da primeira rodada ao valor de base, contando o primeiro lucro como parte do termo constante: $(100 + 3) + 3n = 103 + 3n$.
• Incorreta. O aluno considera apenas as moedas recebidas, ignorando a perda de 1 moeda que ocorre em cada rodada: $100 + 4n$.
• Correta. Representa o valor inicial de $100$ somado ao ganho líquido de $3$ moedas por cada rodada $n$.
• Incorreta. O aluno retira a moeda transferida do saldo inicial uma única vez e utiliza o valor de entrada como taxa: $(100 - 1) + 4n = 99 + 4n$.