Uma sala com piso no formato retangular, com lados de medidas 3 m e 6…

Uma sala com piso no formato retangular, com lados de medidas 3 m e 6 m, será dividida em dois ambientes. Para isso, serão utilizadas colunas em formato cilíndrico, dispostas perpendicularmente ao piso e representadas na figura pelos círculos de cor azul. Os centros desses círculos estarão sobre uma reta paralela aos lados de menor medida do piso da sala. Os vãos entre duas colunas e entre uma coluna e a parede não poderão ser superiores a 15 cm. Para efetuar a compra dessas colunas, foram feitos orçamentos com base em dados fornecidos por cinco lojas.

A compra será realizada na loja

GABARITO: C

O objetivo é encontrar a loja que oferece o menor custo total para dividir a sala de $300 \text{ cm}$ de largura (lado de menor medida) com colunas cilíndricas, respeitando o vão máximo de $15 \text{ cm}$. Seja $n$ o número de colunas, $r$ o raio de cada coluna e $v$ o valor do vão. Com $n$ colunas, temos $n + 1$ vãos. O diâmetro de cada coluna é $D = 2r$. A equação do espaço total é:$n \cdot (2r) + (n + 1) \cdot v = 300$Como $v \le 15$, para encontrar o $n$ mínimo, isolamos o valor limite:$n(2r) + 15n + 15 \ge 300 \implies n(2r + 15) \ge 285 \implies n \ge \frac{285}{2r + 15}$Cálculo para cada loja:

1. Loja I: $r = 5 \implies n \ge \frac{285}{10 + 15} = 11{,}4 \implies n = 12$. Custo: $12 \cdot 60 = 720$.
2. Loja II: $r = 10 \implies n \ge \frac{285}{20 + 15} = 8{,}14 \implies n = 9$. Custo: $9 \cdot 70 = 630$.
3. Loja III: $r = 12 \implies n \ge \frac{285}{24 + 15} = 7{,}30 \implies n = 8$. Custo: $8 \cdot 75 = 600$.
4. Loja IV: $r = 15 \implies n \ge \frac{285}{30 + 15} = 6{,}33 \implies n = 7$. Custo: $7 \cdot 90 = 630$.
5. Loja V: $r = 20 \implies n \ge \frac{285}{40 + 15} = 5{,}18 \implies n = 6$. Custo: $6 \cdot 120 = 720$.

O menor valor é o da Loja III.

• Incorreta. O aluno opta pelo menor preço unitário (R$ 60,00) sem realizar o cálculo da quantidade necessária de colunas, obtendo um custo total de 720, que é maior que 600.
• Incorreta. O cálculo $9 \cdot 70 = 630$ está correto para esta loja, porém o aluno falha em compará-lo com a Loja III, escolhendo um valor superior ao mínimo.
• Incorreta. O cálculo $7 \cdot 90 = 630$ está correto para esta loja, mas o aluno não identifica que a Loja III é mais barata.
• Incorreta. O aluno busca minimizar a quantidade de colunas (usando $n = 6$) e multiplica pelo maior valor unitário, obtendo $6 \cdot 120 = 720$, que é significativamente mais caro.