Um jardineiro dispõe de metros lineares de cerca baixa para fazer um…

Um jardineiro dispõe de $k$ metros lineares de cerca baixa para fazer um jardim ornamental. O jardim, delimitado por essa cerca, deve ter a forma de um triângulo equilátero, um quadrado ou um hexágono regular. A escolha será pela forma que resulte na maior área. O jardineiro escolherá a forma de

GABARITO: A

O problema solicita a identificação do polígono regular (triângulo equilátero, quadrado ou hexágono) que maximiza a área para um perímetro fixo $k$. De acordo com o princípio da isoperimetria, entre polígonos regulares de mesmo perímetro, aquele com o maior número de lados apresenta a maior área.

Vamos calcular a área para cada caso, considerando que o perímetro $P$ é sempre igual a $k$.

1. Triângulo Equilátero: O lado é $L_3 = \frac{k}{3}$. A área é dada por $A_3 = \frac{L_3^2 \sqrt{3}}{4}$. Substituindo: $A_3 = \frac{(k/3)^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{k^2/9 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{k^2 \sqrt{3}}{36}$.
2. Quadrado: O lado é $L_4 = \frac{k}{4}$. A área é dada por $A_4 = L_4^2$. Substituindo: $A_4 = (k/4)^2 = \frac{k^2}{16}$.
3. Hexágono Regular: O lado é $L_6 = \frac{k}{6}$. A área é composta por 6 triângulos equiláteros de lado $L_6$: $A_6 = 6 \cdot \frac{L_6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3 L_6^2 \sqrt{3}}{2}$. Substituindo: $A_6 = \frac{3(k/6)^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{3(k^2/36) \sqrt{3}}{2} = \frac{k^2 \sqrt{3}}{12 \cdot 2} = \frac{k^2 \sqrt{3}}{24}$.

Comparando os valores numéricos (considerando $\sqrt{3} \approx 1{,}732$):

• $A_3 \approx \frac{1{,}732}{36} k^2 \approx 0{,}048 k^2$
• $A_4 = \frac{1}{16} k^2 = 0{,}0625 k^2$
• $A_6 \approx \frac{1{,}732}{24} k^2 \approx 0{,}072 k^2$

Conclui-se que o hexágono regular proporciona a maior área.

Análise das alternativas:

• Correta. O hexágono regular possui a maior área para um perímetro fixo entre as opções dadas, e o valor calculado de $\frac{k^2\sqrt{3}}{24}$ está correto.
• Incorreta. O aluno confunde o perímetro $k$ com o lado do hexágono $l$. Ele calcula $A = \frac{3 k^2 \sqrt{3}}{2}$ em vez de $\frac{3(k/6)^2\sqrt{3}}{2}$, obtendo o valor da alternativa.
• Incorreta. O aluno calcula a área do quadrado corretamente como $(\frac{k}{4})^2 = \frac{k^2}{16}$, mas falha ao não compará-la com a área do hexágono, que é maior ($0{,}072 k^2 > 0{,}0625 k^2$).
• Incorreta. O aluno calcula a área do triângulo equilátero corretamente como $\frac{(k/3)^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{k^2 \sqrt{3}}{36}$, mas falha ao não notar que esta é a menor das três áreas propostas.
• Incorreta. O aluno confunde o perímetro $k$ com o lado do triângulo $l$. Ele calcula $A = \frac{k^2 \sqrt{3}}{4}$ em vez de $\frac{(k/3)^2\sqrt{3}}{4}$, obtendo o valor da alternativa.