A suspensão de um automóvel funciona como um sistema massa-mola…

A suspensão de um automóvel funciona como um sistema massa-mola amortecido cuja função é reduzir a amplitude de oscilação do automóvel. Esse sistema pode ser caracterizado por uma frequência de oscilação $w_0 = \sqrt { \large k \over m}$ , em que $k$ é a constante elástica da mola e $m$ é a massa total do sistema formado por mola, amortecedor, pneu e roda. A suspensão do automóvel é originalmente dimensionada para que a relação entre $w_0$ e um parâmetro fixo $b$ seja:

• $w_0 = b$, quando não há oscilação do automóvel e o sistema volta à posição original rapidamente. Porém, seu amortecimento pode ser determinado também por outras duas relações entre $w_0$ e $b$ :
• $w_0 > b$, quando o sistema oscila algumas vezes até parar;
• $w_0 < b$, quando o sistema não oscila, retornando à sua posição original lentamente.

Por questões estéticas, o proprietário de um automóvel reduz à metade o comprimento original das molas de sua suspensão e troca rodas e pneus, de modo a manter a mesma massa total do sistema. Os demais componentes permanecem inalterados. Como essas alterações modificam a oscilação do sistema?

GABARITO: B

Para resolver esta questão, devemos analisar como a alteração no comprimento da mola afeta sua constante elástica e, consequentemente, a frequência de oscilação do sistema em comparação com o parâmetro fixo $b$.

1. Análise da Constante Elástica (k): A constante elástica de uma mola helicoidal é inversamente proporcional ao seu número de espiras e ao seu comprimento original. Matematicamente, se cortarmos uma mola ao meio, cada metade terá o dobro da constante elástica da mola original. Portanto, ao reduzir o comprimento à metade ($L_{nova} = L/2$), a nova constante elástica será $k_{nova} = 2k$.
2. Cálculo da Nova Frequência ($w_0$): A expressão dada é $w_0 = \sqrt{k/m}$. Mantendo-se a massa $m$ constante e dobrando $k$, temos:$w_{0,novo} = \sqrt{\frac{2k}{m}} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{2} \cdot b$Como $\sqrt{2} \approx 1{,}41$, então $w_{0,novo} > b$.
3. Identificação do Regime de Oscilação: De acordo com o enunciado, quando $w_0 > b$, o sistema oscila algumas vezes até parar. Portanto, a constante elástica aumenta e o sistema passa a oscilar.

Análise das alternativas:

• Incorreta. O aluno supõe que a constante elástica é diretamente proporcional ao comprimento: $k_{nova} = 0{,}5 \cdot k$. Com isso, ele obtém $w_0 = \sqrt{0{,}5} \cdot b \approx 0{,}707 \cdot b$, o que resultaria em $w_0 < b$ (não oscila), mas erra a relação física inicial.
• Correta. Como demonstrado, a constante elástica dobra e a nova frequência supera o valor de amortecimento crítico, permitindo a oscilação.
• Incorreta. O aluno aplica a relação errada $k \propto L$, calculando $k_{final} = 0{,}5k$. A partir daí, conclui corretamente que $w_0 = \sqrt{0{,}5} \cdot b < b$, o que levaria o sistema a retornar lentamente, mas baseia-se na premissa falsa sobre a rigidez da mola.
• Incorreta. O aluno utiliza $k_{nova} = 0{,}5 \cdot k$ e acredita que o comportamento de retornar rapidamente ($w_0 = b$) se manteria por ser o projeto original, ignorando a mudança numérica.
• Incorreta. O aluno calcula corretamente que a constante aumenta ($k_{nova} = 2k$), mas inverte a lógica da desigualdade ou da descrição do regime, associando $w_0 = \sqrt{2}b$ ao retorno lento ($w_0 < b$) por considerar erroneamente que o aumento de frequência 'trava' o sistema.