Uma costureira tem à sua disposição pelo menos duas unidades de cada…

Uma costureira tem à sua disposição pelo menos duas unidades de cada um dos quatro tipos de retalhos retangulares com as estampas e os tamanhos apresentados. Para confeccionar um tapete em formato retangular de 10 cm x 50 cm, ela utilizará os retalhos, na posição indicada na figura, costurando um lado de um a um lado do outro, sem que haja rotações desses retalhos. O modelo de tapete que pretende confeccionar deverá conter um único retalho de 10 cm x 20 cm e mais três retalhos de formato 10 cm x 10 cm, sendo que retalhos de mesma estampa não poderão ficar lado a lado. Quantos modelos diferentes de tapetes poderão ser confeccionados?

GABARITO: E

O problema solicita o número de modelos de tapetes de $10 \text{ cm} \times 50 \text{ cm}$ compostos por um retalho de $10 \text{ cm} \times 20 \text{ cm}$ e três de $10 \text{ cm} \times 10 \text{ cm}$, respeitando a regra de que retalhos adjacentes não podem ter a mesma estampa. Segundo as imagens, existem 3 estampas distintas para o formato quadrado ($E_1, E_2, E_3$) e 1 estampa para o formato retangular maior ($E_4$).

1. Identificação das configurações: O retalho de $20 \text{ cm}$ (chamaremos de R) ocupa o espaço de dois quadrados de $10 \text{ cm}$ (chamaremos de Q). Assim, o tapete é uma sequência de 4 blocos de peças: $R, Q, Q, Q$; $Q, R, Q, Q$; $Q, Q, R, Q$ ou $Q, Q, Q, R$.
2. Cálculo para as extremidades: Nas configurações $R, Q_1, Q_2, Q_3$ e $Q_1, Q_2, Q_3, R$, o retalho maior tem estampa fixa. O quadrado adjacente a ele pode ser qualquer um dos 3 tipos de quadrados ($E_1, E_2, E_3$), pois sua estampa é sempre diferente da estampa do retalho maior. O próximo quadrado deve ser diferente do anterior (2 opções) e o seguinte deve ser diferente do seu vizinho imediato (2 opções). Logo: $1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 12$ modelos por configuração. Total das extremidades: $12 + 12 = 24$.
3. Cálculo para as posições internas: Nas configurações $Q_1, R, Q_2, Q_3$ e $Q_1, Q_2, R, Q_3$, o retalho maior (R) separa dois quadrados. Considere $Q_1, R, Q_2, Q_3$: o primeiro quadrado $Q_1$ tem 3 opções. O retalho R tem 1 opção. O quadrado $Q_2$ é adjacente a R, portanto pode ser qualquer um dos 3 tipos (3 opções). O quadrado $Q_3$ deve ser diferente de $Q_2$ (2 opções). Logo: $3 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 = 18$ modelos por configuração. Total das posições internas: $18 + 18 = 36$.
4. Soma total: $24 + 36 = 60$ modelos diferentes.

• Incorreta. O aluno considera apenas a contagem para uma única posição do retalho retangular nas extremidades, ignorando as demais permutações e o fato de que as posições internas permitem mais combinações: $3 \cdot 2 \cdot 2 = 12$.
• Incorreta. O aluno considera apenas as duas configurações onde o retalho maior está nas pontas do tapete, resultando em $12 + 12 = 24$.
• Incorreta. O aluno calcula corretamente uma configuração de borda (12) e uma interna (18), mas em vez de considerar todas as simetrias, ele apenas as soma e adiciona o número de tipos de retalhos (4), obtendo $12 + 18 + 4 = 34$.
• Incorreta. O aluno supõe que a restrição de vizinhança é sempre a mesma, independentemente da posição do retalho maior, calculando $4 \cdot (3 \cdot 2 \cdot 2) = 48$, falhando em perceber que, quando o retalho maior está no meio, ele 'reseta' a restrição para os quadrados não adjacentes entre si.
• Correta. Conforme demonstrado, a soma das possibilidades para as quatro posições do retalho de 20 cm resulta em 60 modelos.