Uma mola é solta da posição distendida conforme a figura. A figura à…

Uma mola é solta da posição distendida conforme a figura. A figura à direita representa o gráfico da posição $P$ (em cm) da massa $m$ em função do tempo $t$ (em segundo) em um sistema de coordenadas cartesianas. Esse movimento periódico é descrito por uma expressão do tipo $P(t)= \pm A \cos (\omega t)$ ou $P(t)= \pm A \sin (\omega t)$ , em que $A > 0$ é a amplitude de deslocamento máximo e $\omega$ é a frequência, que se relaciona com o período $T$ pela fórmula $\omega={\large{2 \pi \over T}}$ . Considere a ausência de quaisquer forças dissipativas. A expressão algébrica que representa as posições $P(t)$ da massa $m$, ao longo do tempo, no gráfico, é

GABARITO: A

Para encontrar a expressão algébrica da posição $P(t)$, devemos extrair as informações de amplitude, período e comportamento inicial diretamente do gráfico:

1. Amplitude ($A$): A amplitude é o valor máximo do deslocamento em relação ao eixo central (equilíbrio). No gráfico, a curva oscila entre $3$ e $-3$, logo $A = 3$.
2. Período ($T$) e Frequência Angular ($\omega$): O período é o tempo para um ciclo completo. Do primeiro pico em $t = \pi/2$ até o segundo pico em $t = 3\pi/2$, decorre um tempo $T = \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = \pi$ s. A frequência angular é $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{\pi} = 2$.
3. Comportamento inicial: No instante $t = 0$, a posição é $P = -3$. Como $\cos(0) = 1$, a função deve ser do tipo $-A \cos(\omega t)$ para que $P(0) = -3 \cdot 1 = -3$. Substituindo os valores encontrados: $P(t) = -3 \cos(2t)$.

Análise das alternativas:

• Alternativa A: Correta. Atende a todos os parâmetros do gráfico.
• Incorreta. O aluno ignora que o gráfico não começa na origem. Operação errada: $-3 \sin(2 \cdot 0) = 0$. Ele obtém um valor inicial zero em vez de $-3$.
• Incorreta. O aluno esquece de inverter o sinal para o início no valor mínimo. Operação errada: $3 \cos(2 \cdot 0) = 3$. Ele obtém o ponto de máximo em $t = 0$ em vez de $-3$.
• Incorreta. O aluno confunde a amplitude com a variação total pico a pico. Operação errada: $3 - (-3) = 6$. Ao usar este valor como amplitude, calcula $-6 \cos(0) = -6$, fugindo da escala vertical do gráfico.
• Incorreta. O aluno utiliza a variação total como amplitude e escolhe a função trigonométrica errada. Operação errada: $6 \sin(2 \cdot 0) = 0$. Ele obtém um valor inicial zero, desconsiderando o dado visual de que o movimento começa em $-3$.