A Torre Eiffel, com seus 324 metros de altura, feita com treliças de…

A Torre Eiffel, com seus 324 metros de altura, feita com treliças de ferro, pesava 7 300 toneladas quando terminou de ser construída em 1889. Um arquiteto resolve construir um protótipo dessa torre em escala 1:100, usando os mesmos materiais (cada dimensão linear em escala de 1:100 do monumento real). Considere que a torre real tenha uma massa $M_{\text{torre}}$ e exerça na fundação sobre a qual foi erguida uma pressão $P_{\text{torre}}$. O modelo construído pelo arquiteto terá uma massa $M_{\text{modelo}}$ e exercerá uma pressão $P_{\text{modelo}}$. Como a pressão exercida pela torre se compara com a pressão exercida pelo protótipo? Ou seja, qual é a razão entre as pressões $\frac{P_{\text{torre}}}{P_{\text{modelo}}}$ ?

GABARITO: C

Para resolver esta questão, devemos compreender como as grandezas físicas escalam quando alteramos as dimensões lineares de um objeto mantendo o mesmo material (mesma densidade). A escala linear fornecida é de $1:100$, ou seja, o fator de escala é $k = 100 = 10^2$.

1. Análise da Área: A área da base $A$ é uma grandeza bidimensional. Portanto, a razão entre as áreas da torre real e do modelo é o quadrado da escala linear: $A_{torre} / A_{modelo} = k^2 = (10^2)^2 = 10^4$.
2. Análise da Massa: O volume $V$ é uma grandeza tridimensional. Como a densidade $\rho$ é a mesma, a massa $M = \rho \cdot V$ escala com o cubo da escala linear: $M_{torre} / M_{modelo} = k^3 = (10^2)^3 = 10^6$.
3. Análise da Pressão: A pressão $P$ na fundação é dada pela razão entre a força peso ($M \cdot g$) e a área de contato ($A$): $P = \frac{M \cdot g}{A}$.
4. Cálculo da razão das pressões: $\frac{P_{torre}}{P_{modelo}} = \frac{M_{torre} \cdot g / A_{torre}}{M_{modelo} \cdot g / A_{modelo}} = \left( \frac{M_{torre}}{M_{modelo}} \right) \cdot \left( \frac{A_{modelo}}{A_{torre}} \right)$ $\frac{P_{torre}}{P_{modelo}} = 10^6 \cdot \frac{1}{10^4} = 10^2$

Portanto, a pressão exercida pela torre real é 100 vezes maior que a do modelo.

Análise das alternativas:

• Incorreta. O aluno supõe que a pressão é uma propriedade intensiva que não depende da escala (como a densidade), obtendo $10^0 = 1$.
• Incorreta. O aluno utiliza erroneamente a escala linear de 1:10 em vez de 1:100 para o cálculo final, obtendo $10^1$.
• Correta. A razão entre as pressões é igual à escala linear $10^2$.
• Incorreta. O aluno considera apenas a escala de área, calculando $(10^2)^2 = 10^4$, ignorando que a massa também aumenta com o volume.
• Incorreta. O aluno considera apenas a escala de massa/volume, calculando $(10^2)^3 = 10^6$, esquecendo-se de dividir pela escala de área da base.