Uma empresa, investindo na segurança, contrata uma firma para…

Uma empresa, investindo na segurança, contrata uma firma para instalar mais uma câmera de segurança no teto de uma sala. Para iniciar o serviço, o representante da empresa informa ao instalador que nessa sala já estão instaladas duas câmeras e, a terceira, deverá ser colocada de maneira a ficar equidistante destas. Além disso, ele apresenta outras duas informações: (i) um esboço em um sistema de coordenadas cartesianas, do teto da sala, onde estão inseridas as posições das câmeras 1 e 2, conforme a figura. (ii) cinco relações entre as coordenadas $(x ; y)$ da posição onde a câmera 3 deverá ser instalada. R1: $Y=x$ R2: $y=-3x+5$ R3: $y=-3x+10$ R4: $y= {\large{1 \over 3}} x+{\large{5 \over 3}}$ R5: $y={\large{1 \over 3}}x+{\large{1 \over 10}}$ O instalador, após analisar as informações e as cinco relações, faz a opção correta dentre as relações apresentadas para instalar a terceira câmera. A relação escolhida pelo instalador foi a

GABARITO: D

O problema solicita a relação algébrica (equação da reta) que descreve o lugar geométrico dos pontos equidistantes de duas câmeras. Na geometria plana, o conjunto de pontos equidistantes de dois pontos distintos $A$ e $B$ é a mediatriz do segmento $AB$. Para encontrar sua equação, devemos determinar o ponto médio do segmento e o coeficiente angular da reta perpendicular a este segmento.

1. Identificação das coordenadas: Pela observação do gráfico, a Câmera 1 está no ponto $C_1(3, 1)$ e a Câmera 2 está no ponto $C_2(2, 4)$.
2. Cálculo do ponto médio ($M$): $M = \left( \frac{3+2}{2}, \frac{1+4}{2} \right) = (2{,}5 ; 2{,}5)$
3. Cálculo do coeficiente angular da reta que passa por $C_1$ e $C_2$ ($m$): $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{4 - 1}{2 - 3} = \frac{3}{-1} = -3$
4. Cálculo do coeficiente angular da mediatriz ($m_\perp$): Como a mediatriz é perpendicular ao segmento, $m_\perp \cdot m = -1 \Rightarrow m_\perp \cdot (-3) = -1 \Rightarrow m_\perp = \frac{1}{3}$
5. Equação da reta: Utilizando a fórmula $y - y_M = m_\perp(x - x_M)$, temos: $y - 2{,}5 = \frac{1}{3}(x - 2{,}5)$. Transformando para frações: $y - \frac{5}{2} = \frac{1}{3}x - \frac{5}{6} \Rightarrow y = \frac{1}{3}x - \frac{5}{6} + \frac{15}{6} \Rightarrow y = \frac{1}{3}x + \frac{10}{6} \Rightarrow y = \frac{1}{3}x + \frac{5}{3}$.

• Incorreta. O aluno observa que as coordenadas do ponto médio são iguais $(2{,}5 ; 2{,}5)$ e assume erroneamente que a relação de equidistância deve ser $y = x$, ignorando a inclinação necessária para a mediatriz.
• Incorreta. O aluno utiliza o coeficiente angular do segmento original $m = -3$ (esquecendo a perpendicularidade) e tenta passar a reta por um ponto lido incorretamente no gráfico, como $(1, 2)$, obtendo $y - 2 = -3(x - 1) \Rightarrow y = -3x + 5$.
• Incorreta. O aluno encontra o coeficiente angular do segmento $m = -3$ e o ponto médio $(2{,}5 ; 2{,}5)$, mas falha ao não inverter o sinal e o valor para a condição de perpendicularidade, calculando $y - 2{,}5 = -3(x - 2{,}5) \Rightarrow y = -3x + 7{,}5 + 2{,}5 = -3x + 10$.
• Correta. Conforme demonstrado nos cálculos, a relação R4 descreve a mediatriz do segmento entre as duas câmeras instaladas.
• Incorreta. O aluno identifica corretamente o coeficiente angular $m = 1/3$, mas comete um erro aritmético grosseiro ao calcular o coeficiente linear, confundindo a operação $2{,}5 - \frac{2{,}5}{3}$ com uma divisão que resulte em um valor aproximado de $0{,}1$, ou utiliza o ponto $C_1(3, 1)$ e subtrai incorretamente $1 - 1 = 0$ e adiciona um valor arbitrário de $1/10$.