Uma empresa confecciona e comercializa um brinquedo formado por uma…

Uma empresa confecciona e comercializa um brinquedo formado por uma locomotiva, pintada na cor preta, mais 12 vagões de iguais formato e tamanho, numerados de 1 a 12. Dos 12 vagões, 4 são pintados na cor vermelha, 3 na cor azul, 3 na cor verde e 2 na cor amarela. O trem é montado utilizando-se uma locomotiva e 12 vagões, ordenados crescentemente segundo suas numerações, conforme ilustrado na figura. De acordo com as possíveis variações nas colorações dos vagões, a quantidade de trens que podem ser montados, expressa por meio de combinações, é dada por

GABARITO: E

A questão solicita a quantidade de maneiras de colorir 12 vagões numerados de 1 a 12 (com posições fixas pela ordem crescente), utilizando quatro cores específicas em quantidades determinadas. Como a ordem dos vagões já está definida pela numeração, o problema consiste em escolher quais posições (números de 1 a 12) receberão cada cor.

1. Temos 12 posições disponíveis inicialmente. Primeiro, escolhemos as posições dos 4 vagões vermelhos. Isso pode ser feito de $C_{12}^4$ maneiras.
2. Após escolher os vermelhos, restam $12 - 4 = 8$ posições vagas. Para os 3 vagões azuis, escolhemos 3 entre as 8 restantes: $C_8^3$ maneiras.
3. Restam agora $8 - 3 = 5$ posições. Para os 3 vagões verdes, escolhemos 3 entre as 5 restantes: $C_5^3$ maneiras.
4. Por fim, restam $5 - 3 = 2$ posições para os 2 vagões amarelos: $C_2^2 = 1$ maneira.

Pelo Princípio Fundamental da Contagem (Princípio Multiplicativo), multiplicamos os resultados de cada etapa, obtendo a expressão da alternativa E.

• Incorreta. O aluno ignora a redução do espaço amostral a cada escolha realizada. Por exemplo: o aluno calcula $C_{12}^4 \times C_{12}^3 \times C_{12}^3 \times C_{12}^2$ em vez de subtrair os elementos já selecionados do total de 12 para cada termo subsequente.
• Incorreta. O aluno aplica o Princípio Aditivo para uma sequência de decisões dependentes. Por exemplo: o aluno calcula $C_{12}^4 + C_8^3 + C_5^3 + C_2^2$ em vez de realizar o produto entre as combinações de cada etapa.
• Incorreta. O aluno introduz um fator multiplicativo indevido e altera o agrupamento das cores finais. Por exemplo: o aluno utiliza o fator $2$ e o termo $C_5^2$ (talvez confundindo a contagem dos vagões verdes com a dos amarelos), resultando em $C_{12}^4 \times 2 \times C_8^3 \times C_5^2$.
• Incorreta. O aluno combina o erro de não reduzir o conjunto disponível com a adição de uma constante arbitrária. Por exemplo: o aluno calcula $C_{12}^4 \times 2 \times C_{12}^3 \times C_{12}^2$ mantendo o índice 12 em todas as combinações e multiplicando o resultado por 2 sem justificativa combinatória.
• Correta. Aplicação correta do Princípio Multiplicativo para escolhas sucessivas de subconjuntos de um conjunto que diminui de tamanho: $C_{12}^4 \times C_8^3 \times C_5^3 \times C_2^2$.