Os movimentos ondulatórios (periódicos) são representados por…

Os movimentos ondulatórios (periódicos) são representados por equações do tipo $\pm A \sin (wt+\theta)$ , que apresentam parâmetros com significados físicos importantes, tais como a frequência $w = \frac{2\pi}{T}$ , em que $T$ é o período; $A$ é a amplitude ou deslocamento máximo; $\theta$ é o ângulo de fase $0 \le \theta < \frac{2\pi}{w}$ , que mede o deslocamento no eixo horizontal em relação à origem no instante inicial do movimento. O gráfico representa um movimento periódico, $P = P(t)$ , em centímetro, em que $P$ é a posição da cabeça do pistão do motor de um carro em um instante $t$ , conforme ilustra a figura. A expressão algébrica que representa a posição $P(t)$ , da cabeça do pistão, em função do tempo $t$ é

GABARITO: A

A questão solicita a determinação da expressão algébrica que descreve a posição da cabeça do pistão em função do tempo, baseando-se no gráfico de uma função periódica do tipo $P(t) = \pm A \sin(\omega t + \theta)$. Para resolver, devemos identificar os parâmetros $A$, $T$ (período), $\omega$ e $\theta$ diretamente do gráfico fornecido.

1. Amplitude ($A$): O gráfico atinge um valor máximo de $4 \text{ cm}$ e um valor mínimo de $-4 \text{ cm}$. Portanto, o deslocamento máximo em relação ao eixo de equilíbrio (origem) é $A = 4$.
2. Período ($T$): Um ciclo completo da onda (partindo do zero, subindo ao pico, descendo ao vale e retornando ao zero) se completa no tempo $t = \pi$. Observe que o rótulo $\pi$ no eixo horizontal está posicionado exatamente no final do primeiro ciclo completo.
3. Frequência angular ($\omega$): Utilizando a fórmula fornecida no enunciado, $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{\pi} = 2$.
4. Ângulo de fase ($\theta$): No instante inicial $t = 0$, a posição é $P(0) = 0$. Substituindo na expressão: $4 \sin(2 \cdot 0 + \theta) = 0 \implies \sin(\theta) = 0$. Como o movimento começa subindo (valores positivos de $P$), escolhemos o sinal positivo e $\theta = 0$.

Portanto, a expressão é $P(t) = 4 \sin(2t)$.

Análise das alternativas incorretas:

• Incorreta. Troca do sentido inicial do movimento: o aluno utiliza um coeficiente negativo, obtendo $P(t) = -4 \sin(2t)$. Para um valor pequeno como $t = 0{,}1$, isso resultaria em $P(0{,}1) \approx -0{,}8 \text{ cm}$, indicando que o pistão desce inicialmente, o que contraria o gráfico.
• Incorreta. Erro na identificação do período: o aluno confunde o tempo do primeiro cruzamento pelo eixo ($\pi/2$) com o período total da função. Calculando $\omega = 2\pi / (\pi/2) = 4$ e mantendo o erro de sinal da alternativa B, obtém $P(t) = -4 \sin(4t)$.
• Incorreta. Erro na interpretação da fase inicial: o aluno identifica que o primeiro pico ocorre em $t = \pi/4$ e decide, erroneamente, somar esse valor como fase na função seno. Ao calcular $P(0) = 4 \sin(2 \cdot 0 + \pi/4)$, obtém $4 \cdot \sqrt{2}/2 \approx 2{,}83$, enquanto o gráfico mostra claramente que a posição inicial é $0$.
• Incorreta. Acúmulo de erros de período e fase: o aluno utiliza a frequência errada de $\omega = 4$ (baseada em $T = \pi/2$) e aplica a mesma fase incorreta de $\pi/4$, resultando em um valor inicial de $P(0) = 4 \sin(\pi/4) \approx 2{,}83$ em vez de zero.