Para criar um logotipo, um profissional da área de design gráfico…

Para criar um logotipo, um profissional da área de design gráfico deseja construí-lo utilizando o conjunto de pontos do plano na forma de um triângulo, exatamente como mostra a imagem. Para construir tal imagem utilizando uma ferramenta gráfica, será necessário escrever algebricamente o conjunto que representa os pontos desse gráfico. Esse conjunto é dado pelos pares ordenados $(x ; y) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$, tais que

GABARITO: B

O problema solicita a representação algébrica de um conjunto de pontos no plano cartesiano que formam um triângulo. Para resolver, devemos observar os limites das coordenadas $x$ e $y$ para os pontos apresentados no gráfico.

1. Análise do eixo $x$: O conjunto de pontos estende-se da origem $(0, 0)$ até a reta vertical $x = 10$. Portanto, $0 \le x \le 10$.
2. Análise do eixo $y$: Para qualquer valor de $x$ escolhido, as ordenadas $y$ começam em $0$ e sobem até encontrar a diagonal. Notamos que no ponto mais alto à direita, $x = 10$ e $y = 10$. Em outros pontos intermediários, como $x = 5$, o valor máximo de $y$ é $5$. Isso indica que $y$ é sempre menor ou igual a $x$, ou seja, $0 \le y \le x$.
3. Conclusão: Unindo as inequações, temos o intervalo $0 \le y \le x \le 10$.

Análise das alternativas:

• Incorreta. O aluno inverte a relação de dependência entre as variáveis, usando $x \le y$ em vez de $y \le x$. Por exemplo: o aluno consideraria o ponto $(2, 8)$ como parte do conjunto pois $2 \le 8 \le 10$, mas esse ponto está no triângulo superior vazio do gráfico.
• Correta. Esta expressão limita as ordenadas pela diagonal $y = x$ e as abscissas pelo valor máximo $10$, descrevendo precisamente a região pontilhada.
• Incorreta. O aluno ignora a restrição da diagonal e considera apenas os intervalos independentes: $x \in [0, 10]$ e $y \in [0, 10]$. Por exemplo: o aluno define um quadrado de $11 \cdot 11 = 121$ pontos, incluindo pontos como $(1, 9)$ que não pertencem ao triângulo.
• Incorreta. O aluno confunde a fronteira $y = x$ com a reta decrescente $y = 10 - x$. Por exemplo: o aluno exclui o ponto $(9, 2)$ presente na imagem, pois ao calcular a soma obtém $9 + 2 = 11$, e $11 > 10$.
• Incorreta. O aluno utiliza a soma máxima das coordenadas possíveis no gráfico $10 + 10 = 20$ como único limitador. Por exemplo: o aluno permite o ponto $(3, 10)$ porque $3 + 10 = 13 \le 20$, mas este ponto está fora do triângulo desenhado.