Um lapidador recebeu de um joalheiro a encomenda para trabalhar em…

Um lapidador recebeu de um joalheiro a encomenda para trabalhar em uma pedra preciosa cujo formato é o de uma pirâmide, conforme ilustra a Figura 1. Para tanto, o lapidador fará quatro cortes de formatos iguais nos cantos da base. Os cantos retirados correspondem a pequenas pirâmides, nos vértices P, Q, R e S, ao longo dos segmentos tracejados, ilustrados na Figura 2. Depois de efetuados os cortes, o lapidador obteve, a partir da pedra maior, uma joia poliédrica cujos números de faces, arestas e vértices são, respectivamente, iguais a

GABARITO: A

A questão solicita a determinação do número de faces, arestas e vértices de um poliedro resultante após a realização de quatro cortes nos vértices da base de uma pirâmide quadrangular regular.

Primeiramente, analisamos a pirâmide original (Figura 1):

• Vértices ($V_i$): 5 (4 na base e 1 no topo).
• Faces ($F_i$): 5 (1 base quadrangular e 4 faces laterais triangulares).
• Arestas ($E_i$): 8 (4 na base e 4 laterais).

Em seguida, analisamos o efeito de cada um dos 4 cortes realizados nos vértices da base ($P, Q, R, S$):

1. Faces: Cada corte remove um vértice e cria uma nova face triangular. Como são 4 cortes, o número de faces aumenta em 4. Portanto, $F = 5 + 4 = 9$.
2. Arestas: Cada corte cria 3 novas arestas que delimitam a nova face triangular. Portanto, o número de arestas aumenta em $4 \times 3 = 12$. Logo, $E = 8 + 12 = 20$.
3. Vértices: Cada corte remove 1 vértice original e adiciona 3 novos vértices (onde o corte intercepta as arestas preexistentes). O saldo por corte é de $+2$ vértices. Logo, $V = 5 + (4 \times 2) = 13$.

Podemos validar pela Relação de Euler: $V - E + F = 2 \Rightarrow 13 - 20 + 9 = 2$. A relação é satisfeita.

Análise das alternativas:

• A) Correta. Contagem exata de faces (9), arestas (20) e vértices (13).
• B) Incorreta. O aluno assume que cada corte adiciona 4 arestas em vez de 3: $8 + 4 \cdot 4 = 24$, obtendo 9, 24 e 13.
• C) Incorreta. O aluno conta apenas 2 cortes em vez de 4 para as faces: $5 + 2 = 7$, e aplica proporções errôneas para arestas e vértices, obtendo 7, 15 e 12.
• D) Incorreta. O aluno dobra o número de arestas originais $8 \cdot 2 = 16$ e mantém o número inicial de vértices (5), obtendo 10, 16 e 5.
• E) Incorreta. O aluno soma as faces laterais originais (4) com as novas (4) e a base (1), mas erra a conta total para 11, mantendo os outros valores errados da alternativa D, obtendo 11, 16 e 5.