A bocha é um esporte jogado em canchas, que são terrenos planos e…

A bocha é um esporte jogado em canchas, que são terrenos planos e nivelados, limitados por tablados perimétricos de madeira. O objetivo desse esporte é lançar bochas, que são bolas feitas de um material sintético, de maneira a situá-las o mais perto possível do bolim, que é uma bola menor feita, preferencialmente, de aço, previamente lançada. A Figura 1 ilustra uma bocha e um bolim que foram jogados em uma cancha. Suponha que um jogador tenha lançado uma bocha, de raio 5 cm, que tenha ficado encostado no bolim, de raio 2 cm, conforme ilustra a Figura 2. Considere o ponto $C$ como o centro da bocha, e o ponto $O$ como o centro do bolim. Sabe-se que $A$ e $B$ são os pontos em que a bocha e o bolim, respectivamente, tocam o chão da cancha, e que a distância entre $A$ e $B$ é igual a $d$. Nessas condições, qual a razão entre $d$ e o raio do bolim?

GABARITO: E

Para resolver este problema, devemos modelar a situação geometricamente no plano vertical que passa pelos centros das duas esferas. Considere as esferas como círculos tangentes entre si e tangentes a uma reta (o chão).

1. Sejam $R = 5 \text{ cm}$ o raio da bocha e $r = 2 \text{ cm}$ o raio do bolim.
2. Como as esferas estão encostadas (tangentes), a distância entre seus centros $C$ e $O$ é a soma de seus raios: $CO = R + r = 5 + 2 = 7 \text{ cm}$.
3. A distância vertical entre os centros é a diferença entre as alturas em relação ao solo: $h = R - r = 5 - 2 = 3 \text{ cm}$.
4. A distância horizontal entre os pontos de contato $A$ e $B$ no chão, denotada por $d$, forma o cateto horizontal de um triângulo retângulo onde a hipotenusa é $CO$ e o outro cateto é $h$.
5. Pelo Teorema de Pitágoras: $d^2 + (R - r)^2 = (R + r)^2 \implies d^2 + 3^2 = 7^2$
6. $d^2 + 9 = 49 \implies d^2 = 40 \implies d = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \text{ cm}$
7. A questão pede a razão entre $d$ e o raio do bolim ($r$):$\frac{d}{r} = \frac{2\sqrt{10}}{2} = \sqrt{10}$

• Incorreta. O aluno assume erroneamente que a distância horizontal é igual ao raio do bolim, $d = r = 2$, obtendo a razão $2/2 = 1$.
• Incorreta. O aluno calcula $d = 2\sqrt{10}$ corretamente, mas calcula a razão em relação ao raio da bocha ($R = 5$) em vez do bolim, obtendo $2\sqrt{10}/5$.
• Incorreta. O aluno utiliza a fórmula incorreta para a distância de tangência $d = \sqrt{R \cdot r} = \sqrt{5 \cdot 2} = \sqrt{10}$ e, ao dividir pelo raio do bolim $r = 2$, obtém $\sqrt{10}/2$.
• Incorreta. O aluno supõe que a distância entre os pontos de contato é o diâmetro do bolim, $d = 2r = 4$, resultando na razão $4/2 = 2$.
• Correta. Conforme demonstrado pelo cálculo geométrico e aplicação do Teorema de Pitágoras no triângulo de translação dos centros.