Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem as mensagens…

Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem as mensagens secretas, foi utilizada a técnica de decomposição em fatores primos. Um número $N$ é dado pela expressão $2^x . 5^y . 7^z$ , na qual $x$ , $y$ e $z$ são números inteiros não negativos. Sabe-se que $N$ é múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7 . O número de divisores de $N$ , diferentes de $N$ é

GABARITO: E

A questão aborda a contagem de divisores de um número natural a partir de sua decomposição em fatores primos. Pela regra do produto, se um número natural possui a fatoração $n = p_1^{a} \cdot p_2^{b} \cdot p_3^{c}$, a quantidade total de seus divisores positivos é dada por $(a+1)(b+1)(c+1)$. O raciocínio para a resolução segue estes passos:

1. A forma do número é $N = 2^x \cdot 5^y \cdot 7^z$. De acordo com a regra acima, o número total de divisores de $N$ é $(x+1)(y+1)(z+1)$.
2. O enunciado informa que $N$ é múltiplo de 10 (ou seja, múltiplo de $2 \cdot 5$), o que implica que $x \ge 1$ e $y \ge 1$. Além disso, $N$ não é múltiplo de 7, o que força o expoente desse fator a ser zero ($z = 0$).
3. A questão solicita o número de divisores de $N$ diferentes de $N$. Como $N$ é sempre um de seus próprios divisores, devemos subtrair 1 do total calculado no passo 1.
4. Portanto, a expressão correta é $(x+1)(y+1)(z+1) - 1$.

Análise das alternativas:

• Incorreta. O aluno multiplica apenas os expoentes sem somar a unidade a cada um deles: $x \cdot y \cdot z$. Por exemplo, se $N = 10$ ($x=1, y=1, z=0$), o aluno obteria 0 em vez de 3.
• Incorreta. O aluno identifica corretamente que $z = 0$ e calcula a quantidade total de divisores ($(x+1)(y+1)$), mas esquece de subtrair o próprio número $N$ conforme solicitado. Para $N = 10$, obteria $2 \cdot 2 = 4$.
• Incorreta. O aluno subtrai o próprio $N$ da contagem, mas aplica a fórmula errada para o total de divisores, não somando 1 aos expoentes: $(x \cdot y \cdot z) - 1$. Para $N = 10$, obteria $0 - 1 = -1$.
• Incorreta. O aluno utiliza os termos $(x+1)$ e $(y+1)$, mas multiplica pelo expoente $z$ diretamente em vez de $(z+1)$. Como $z=0$, ele calcula $(x+1)(y+1) \cdot 0 = 0$.
• Correta. Representa a fórmula geral da quantidade de divisores subtraída de 1 unidade (o próprio $N$): $(x+1)(y+1)(z+1) - 1$.