Nos últimos anos, a televisão tem passado por uma verdadeira…

Nos últimos anos, a televisão tem passado por uma verdadeira revolução, em termos de qualidade de imagem, som e interatividade com o telespectador. Essa transformação se deve à conversão do sinal analógico para o sinal digital. Entretanto, muitas cidades ainda não contam com essa nova tecnologia. Buscando levar esses benefícios a três cidades, uma emissora de televisão pretende construir uma nova torre de transmissão, que envie sinal às antenas A, B e C, já existentes nessas cidades. As localizações das antenas estão representadas no plano cartesiano: A torre deve estar situada em um local equidistante das três antenas. O local adequado para a construção dessa torre corresponde ao ponto de coordenadas

GABARITO: E

O problema solicita a localização de um ponto equidistante de três outros pontos fornecidos graficamente. Esse ponto é o circuncentro do triângulo formado pelas antenas A, B e C. Primeiramente, extraímos as coordenadas do plano cartesiano:

• Antena $A = (30, 20)$
• Antena $B = (70, 20)$
• Antena $C = (60, 50)$

Seja $P(x, y)$ o local da torre. Para que $P$ seja equidistante de $A$ e $B$, ele deve estar sobre a mediatriz do segmento $AB$. Como as ordenadas de $A$ e $B$ são iguais ($y = 20$), a mediatriz é a reta vertical que passa pelo ponto médio das abscissas:

Agora, impomos que a distância de $P(50, y)$ até $A$ seja igual à distância até $C$. Utilizando o quadrado da distância para simplificar os cálculos:

Portanto, o ponto é $(50, 30)$.

• Incorreta. Cálculo do ponto médio do segmento $BC$: $M_{BC} = \left( \frac{70+60}{2}, \frac{20+50}{2} \right) = (65, 35)$. Por exemplo: o aluno confunde o ponto equidistante das três antenas com o ponto central entre apenas duas delas (B e C), obtendo $(65, 35)$.
• Incorreta. Cálculo do baricentro (médias aritméticas das coordenadas): $x = \frac{30+70+60}{3} = \frac{160}{3} \approx 53{,}3$ e $y = \frac{20+20+50}{3} = 30$. Por exemplo: o aluno calcula o centro de massa do triângulo em vez do centro da circunferência circunscrita, obtendo $(53, 30)$ por arredondamento.
• Incorreta. Cálculo do ponto médio do segmento $AC$: $M_{AC} = \left( \frac{30+60}{2}, \frac{20+50}{2} \right) = (45, 35)$. Por exemplo: o aluno busca um ponto médio de um lado do triângulo em vez do ponto equidistante aos três vértices, resultando em $(45, 35)$.
• Incorreta. Cálculo do ponto médio do segmento $AB$: $M_{AB} = \left( \frac{30+70}{2}, \frac{20+20}{2} \right) = (50, 20)$. Por exemplo: o aluno assume que a torre deve estar na base do triângulo formado pelas antenas, exatamente entre A e B, chegando a $(50, 20)$.
• Correta. Como demonstrado, o ponto $(50, 30)$ satisfaz a condição de equidistância para as três antenas (distância de $\sqrt{500}$ unidades para cada uma).