Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a…

Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a colocação de vitrais compostos de quadrados de lado medindo 1 m, conforme a figura a seguir. Nesta figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos lados do quadrado e os segmentos $AP$ e $QC$ medem $1/4$ da medida do lado do quadrado. Para confeccionar um vitral, são usados dois tipos de materiais: um para a parte sombreada da figura, que custa R$ 30,00 o $m^2$ , e outro para a parte mais clara (regiões $ABPDA$ e $BCDQB$), que custa R$ 50,00 o $m^2$ . De acordo com esses dados, qual é o custo dos materiais usados na fabricação de um vitral?

GABARITO: B

Para determinar o custo total dos materiais, precisamos calcular separadamente as áreas da parte clara e da parte sombreada do vitral de lado 1 m.

1. Cálculo da área da parte clara: A parte clara é composta pelas regiões $ABPDA$ e $BCDQB$. A região $ABPDA$ pode ser decomposta em dois triângulos, $ABP$ e $ADP$. Ambos possuem base $AP = 1/4$ m e altura de $1/2$ m (distância do ponto médio do lado oposto até a linha central). Assim, a área de cada região branca é $2 \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{8}$ $\text{m}^2$. Como são duas regiões claras idênticas, a área clara total é $A_L = 2 \cdot \frac{1}{8} = 0,25$ $\text{m}^2$.
2. Cálculo da área da parte sombreada: A área total do quadrado é $1 \cdot 1 = 1$ $\text{m}^2$. A área sombreada é a diferença: $A_S = 1,00 - 0,25 = 0,75$ $\text{m}^2$.
3. Cálculo do custo: Multiplicamos cada área pelo seu respectivo custo por metro quadrado: $C = (0,75 \cdot 30,00) + (0,25 \cdot 50,00)$. Portanto, $C = 22,50 + 12,50 = 35,00$.

Análise das alternativas:

• Incorreta. O aluno esquece de somar o valor da parte clara e considera apenas o custo da parte sombreada: $0,75 \cdot 30 = 22,50$.
• Correta. Como calculado acima, o custo total é de R$ 35,00.
• Incorreta. O aluno assume erroneamente que as áreas sombreada e clara são iguais, utilizando $0,5$ $\text{m}^2$ para cada: $0,5 \cdot 30 + 0,5 \cdot 50 = 15 + 25 = 40,00$.
• Incorreta. O aluno aplica o custo base da área total e adiciona o custo da parte clara como se fosse um excedente direto: $1 \cdot 30 + 0,25 \cdot 50 = 30 + 12,50 = 42,50$.
• Incorreta. O aluno inverte as áreas calculadas, atribuindo $0,75$ $\text{m}^2$ ao material mais caro e $0,25$ $\text{m}^2$ ao mais barato: $0,25 \cdot 30 + 0,75 \cdot 50 = 7,50 + 37,50 = 45,00$.