Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a Noroeste de…

Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a Noroeste de São Paulo), na noite do último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando agricultores da região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, França, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da camada de ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento do tempo previsto de medição. Disponível em: http://www.correiodobrasil.com.br. Acesso em: 02 maio 2010. Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob um ângulo de $60^\circ$; a outra estava a 5,5 km da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo de $30^\circ$. Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão?

GABARITO: C

A questão solicita a altura aproximada do balão com base em observações de dois pontos diferentes (A e B). A situação pode ser modelada por meio de triângulos retângulos, nos quais a altura $h$ do balão é o cateto oposto aos ângulos de visão dados.

1. Identificação do primeiro triângulo: O observador A está a $1,8 \text{ km}$ da base vertical e vê o balão sob um ângulo de $60^\circ$. Usamos a relação da tangente: $\tan(60^\circ) = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}$.
2. Cálculo da altura usando o primeiro triângulo: Como $\tan(60^\circ) = \sqrt{3} \approx 1,732$, temos $\sqrt{3} = \frac{h}{1,8} \implies h = 1,8 \cdot 1,732 \approx 3,1176 \text{ km}$.
3. Verificação com o segundo triângulo: O observador B está a $5,5 \text{ km}$ da base (pois $1,8 + 3,7 = 5,5$) e vê o balão sob $30^\circ$. Usando $\tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0,577$, temos $\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{h}{5,5} \implies h = 5,5 \cdot 0,577 \approx 3,1735 \text{ km}$.
4. Conclusão: O valor aproximado que melhor representa a altura em ambos os cálculos é $3,1 \text{ km}$.

Análise das alternativas:

• Incorreta. O aluno confunde a medida da base do primeiro triângulo com a altura, ou assume erroneamente que o ângulo de $60^\circ$ resulta em um triângulo isósceles, obtendo $h = 1,8 \text{ km}$.
• Incorreta. O aluno realiza a subtração entre as medidas das bases dos triângulos fornecidas na figura: $3,7 - 1,8 = 1,9$.
• Correta. Cálculo preciso da altura aproximada via razão trigonométrica: $1,8 \cdot \tan(60^\circ) \approx 3,1 \text{ km}$.
• Incorreta. O aluno utiliza diretamente a distância entre os pontos A e B fornecida na imagem como se fosse a altura desejada, obtendo $3,7 \text{ km}$.
• Incorreta. O aluno utiliza a distância total do ponto B até a projeção vertical como o valor da altura, ou assume $\tan(30^\circ) = 1$, obtendo $1,8 + 3,7 = 5,5$.