Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por dia a R\$…

Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200 litros. Considerando $x$ o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e $V$ o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, então a expressão que relaciona $V$ e $x$ é

GABARITO: D

Para encontrar a expressão que relaciona o valor arrecadado $V$ com o desconto $x$ dado em centavos, devemos multiplicar o preço por litro pela quantidade de litros vendidos.

1. Preço por litro: O preço inicial é de $R\$ 1,50$. O desconto $x$ é dado em centavos, o que equivale a $x/100$ em reais. Assim, o novo preço é $P = 1,50 - 0,01x$.
2. Quantidade vendida: A quantidade inicial é de $10.000$ litros. Para cada centavo de desconto, vendem-se $100$ litros a mais. Para um desconto de $x$ centavos, a quantidade vendida será $Q = 10.000 + 100x$.
3. Valor arrecadado $V$: Multiplicamos o preço pela quantidade:$V = (1,50 - 0,01x) \cdot (10.000 + 100x)$
4. Desenvolvimento da expressão:$V = 1,50 \cdot 10.000 + 1,50 \cdot 100x - 0,01x \cdot 10.000 - 0,01x \cdot 100x$ $V = 15.000 + 150x - 100x - 1x^2$ $V = 15.000 + 50x - x^2$

Análise das alternativas:

• Incorreta. O aluno confunde o valor arrecadado inicial com o volume inicial de litros vendidos. Operação errada concreta: utiliza $10.000$ como termo constante em vez de $1,50 \cdot 10.000 = 15.000$, obtendo $V = 10.000 + 50x - x^2$.
• Incorreta. O aluno utiliza o volume inicial como base e inverte o sinal da concavidade da parábola. Operação errada concreta: $10.000 + (150x - 100x) + (0,01x \cdot 100x)$, resultando em $V = 10.000 + 50x + x^2$.
• Incorreta. O aluno inverte o sinal da operação de subtração dos termos lineares durante a distributiva. Operação errada concreta: calcula $100x - 150x = -50x$ em vez de $150x - 100x = +50x$, obtendo $V = 15.000 - 50x - x^2$.
• Correta. Conforme o desenvolvimento algébrico da função receita.
• Incorreta. O aluno comete erros de sinal tanto na redução dos termos lineares quanto no termo quadrático. Operação errada concreta: $100x - 150x = -50x$ e ignora o sinal negativo do desconto no produto final, resultando em $V = 15.000 - 50x + x^2$.